Matematik severler buraya! Çarpanlarına ayırma konusunun en önemli bölümlerinden biri olan 'Küp Açılımı' formüllerini inceliyoruz. İlkokuldan beri karşımıza çıkan çarpanlara ayırma ve özdeşlik formülleri ile küp açılımı yapıyoruz. Küp açılımı yaparken binom açılımı ve Pascal üçgeninden yararlanıyoruz. Peki, küp açılımı nedir, nasıl yapılır?
İşte, formüllerle küp açılımı
Küp Açılımı Nedir?
Küp açılımı, çarpanlara ayırma konusunun en önemli bölümlerinden biridir. Küp açılımı, binom açılımı ve Pascal üçgeni kullanılarak yapılır.
Öğrenciler tarafından çok karıştırılan iki küp toplamı ve tam küp formülleri aslında birbirinden oldukça farklıdır. Yani, a³ + b³ ifadesinin cebirsel açılımı ile (a + b)³ ifadesinin cebirsel açılımı aynı değildir.
Küp Açılımı Nasıl Yapılır?
Tam küp açılımı, binom Açılımı kullanılarak yapılır. Binom açılımı, iki sayının toplamının üslü ifadesinin cebirsel açılımıdır. Görselde yer aldığı gibi (x + y) ifadesinin kuvvetlerinin binom açılımı yapılırken katsayılar, Pascal üçgeninden elde edilir.
Pascal Üçgeni Nedir?
Pascal üçgeni, binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Çoğu öğrencinin zorlandığı çarpanlara ayırma konusunun temelidir. Pascal üçgenini öğrendiğinizde, küp açılımının ne kadar kolay olduğunu fark edeceksiniz.
Pascal üçgenin en dışında 1'ler vardır. Her satırda yer alan katsayılar, bir üst satırda yer alan 2 sayının toplamından elde edilir.
Üstteki görselde görüldüğü gibi 2. satırda yer alan 1 rakamlarının toplamı ile 3. satırda yer alan katsayılar oluşturulur: 1, 2, 1
Bu durumda 1 + 2 = 3 toplamı ile 4. satırda yer alan 1, 3, 3, 1 katsayıları elde edilir.
5. satır ise; 1, (1 + 3), (3 + 3), (3 + 1), 1 şeklindedir. Yine görselde görüldüğü gibi 5. satırda yer alan katsayılar: 1, 4, 6, 4, 1'dir.
Küp açılımında Pascal üçgeni: Küp açılımı yaparken Pascal üçgeninde yer alan katsayıları kullanıyoruz.
Pascal üçgenin satırlarında (x + y) ifadesinin sıfırıncı kuvvetinden itibaren katsayıları yer alır. Yandaki görselde görüldüğü gibi:
Pascal üçgeninin ilk satırından (x + y)'nin sıfırıncı kuvvetinin, ikinci satırında (x +y)'nin birinci kuvvetinin; yani, (x + y) = 1x + 1y = x + y açılımının katsayıları elde edilir.
Üçüncü basamakta yer alan 1, 2, 1 katsayıları tam kare toplamı (x + y)² ifadelerinin açılımında kullanılır.
Dördüncü basamakta yer alan 1, 3, 3, 1 katsayıları ise tam küp toplamı (x + y)³ ifadesinin açılımında kullanılır.
Şimdi tam küp (a + b)³ ifadesinin binom açılımını, Pascal üçgeninden elde ettiğimiz katsayılarla yapabiliriz.
Çarpanlarına Ayırma ve Özdeşlik Formülleri ile Tam Küp Açılımları
Tam Küp Açılımı:
- Tam küp toplamı: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Tam küp toplamı: İki ifadenin toplamının küpüdür.
- Tam küp farkı: (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
Tam küp farkı: İki ifadenin farkının küpüdür.
İki Küp Farkı ve Toplamı:
İki küp toplamı: a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²)
İki küp farkı: a³ - b³ = ( a - b).(a² + ab + b²)
Çarpanlarına Ayırma ve Özdeşlik Formülleri ile Tam Kare Açılımları
Tam Kare Açılımı:
- Tam kare toplamı: (a + b)² = a² + 2ab + b²
Tam kare toplamı: İki ifadenin toplamının karesidir.
- Tam kare toplamı: (a - b)² = a² - 2ab + b²
Tam kare farkı: İki ifadenin farkının karesidir.
İki Kare Farkı ve Toplamı:
İki kare toplamı: a² + b² = (a - b)² + 2ab = (a + b)² - 2ab
İki kare farkı: a² - b² = ( a - b).(a + b)
Çarpanlarına Ayırma ve Özdeşlik Formülleri ile Üç Terim Toplamı
Üç terim toplamının karesi: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2.(ab + ac + bc)
Burada üç terim toplamını kullan: a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2.(ab + ac + bc)
Üç terim toplamının küpü: (a + b + c)³ = (a³ + b³ + c³) + 3.[(a + b + c).(ab + ac + bc) - abc]
Küp açılımı formülleri ile çözülecek çarpanlara ayırma soruları:
Soru 1: x³ + 8 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm: 8, 2'nin küpü olduğu için x³ + 8 ifadesini: x³ + 2³ şeklinde yazabiliriz.
x³ + 2³ = (x + 2).(x² - 2x + 4) şeklinde çarpanlarına ayırmış oluruz.
Soru 2: Deniz x³ - 27 ifadesini çarpanlarına ayırmak istiyor. Buna göre Deniz'in bulması gereken cevap hangisidir?
A) (x + 3).(x² - 3x + 9)
B) (x - 3).(x² - 3x + 6)
C) (x - 3).(x² + 3x + 9)
D) (x + 3).(x² - 6x - 9)
E) (x - 3).(3x² - 6x + 3)
Çözüm: x³ - 27 ifadesini çarpanlarına ayırmak için küp açılımı formülleri arasında yer alan iki küp farkı formülünü kullanamalıyız.
x³ - 27 = x³ - 3³
Bakınız iki küp farkı formülü: a³ - b³ = ( a - b).(a² + ab + b²)
Şimdi x³ - 3³ ifadesini formülüze edebiliriz. a³ - b³ = ( a - b).(a² + ab + b²) kullanırken: a= x, b = 3 ise çözüm C seçeneğidir.
Soru 3: İki reel sayının toplamı 6, çarpımları ise 9'dur. İki reel sayının küplerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: İki reel sayıyı x ve y kabul edelim. Şimdi sorunun yeni hali şu şekilde olur: x + y = 6, x.y = 9 ise x³ + y³ =?
Tam küp formülünü hatırlayalım: (x + y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³
= x³ + 3xy(x + y) + y³
Elde ettiğimiz (x + y)³ = x³ + 3xy(x + y) + y³ açılımında (x + y) yerine 6, x.y yerine de 9 yazalım: 6³ = x³ + 3.9.6 + y³
216 = x³ + 162 + y³
216 - 162 = x³ + y³
54 = x³ + y³