Finansal sistem, iklim sistemi ve ekolojik sistem gibi çeşitli karmaşık alt sistemlerden oluşan karmaşık bir dünyada yaşıyoruz. Umuyoruz ki hepimiz etrafımızdaki karmaşık sistemlerin gelecekteki davranışlarını anlamak ve ardından karar verme sürecine rehberlik etmek istiyoruz. Ancak gerçek dünyadaki birçok karmaşık sistemde kuralları doğrudan bulmak ve ileri tahminlere ulaşmak zorlayıcıdır ve bazen mümkün değildir. Neyse ki, karmaşık sistemlerdeki bileşenlerin çeşitli veri kümelerine erişilebilir; özellikle, gerçek dünya gözlemlerinin zamansal evrimlerinden toplanan zaman serisi verilerinin, karmaşık sistemlere ilişkin zengin bilgiler içerdiği kabul edilir; örneğin, tür popülasyon serileri, kararlılığı tahmin etmek için kullanılır. Ekosistemlerin yapısı ve sıcaklık serileri iklim sistemlerinde yararlı göstergelerdir. Sistem bileşenlerinin gelecekteki davranışlarının bulunması, karmaşık sistemlerin tahmin edilmesinde yardımcı olabilir. Bunu anlamak için değişkenlerden oluşan klasik Lorenz sistemini ele alıyoruz (Şekil 1(a)). Lorenz sistemi durum uzayında geliştikçe her bileşen bir zaman serisi (Şekil 1(b)) üretir. Tüm bu değişkenlerin gelecekteki davranışlarını tahmin edebilirsek (Şekil 1(c)), Lorenz sisteminin gelecekteki davranışlarını da tahmin etmemiz muhtemeldir (Şekil 1(d)).
Şekil 1. Karmaşık sistem ve çıkış zaman serisi.
Yukarıda tartışıldığı gibi karmaşık sistemlerin gelecekteki davranışlarını çıktı zaman serileri aracılığıyla tahmin etmek mümkündür. Bununla birlikte, muhtemelen üç nedenden dolayı hala açık bir konudur: i) Gerçek dünya sistemleri çoğu zaman birbirine bağlı birçok birimden oluşur, örneğin iklim sistemlerindeki çoklu uzay-zamansal gözlemler ve beyindeki binlerce işlevsel olarak birbirine bağlı nöronlar, bu nedenle bir çıktı verirler. yüksek boyut olarak bilinen çok sayıda zaman serisi değişkeni. Karmaşık bir sistemdeki tüm gözlemleri tahmin edebilecek bir yöntem oluşturmak zordur. Bazı çalışmalar, bir yaklaşım olarak, sistemlerden bazı temsili değişkenleri tahmin eder. Ancak bu tür temsili değişkenlerin belirlenmesi zorlu bir görev olmaya devam etmektedir. Ayrıca, küçük bozulmaların büyüyüp tüm bileşenlere yayılabileceği ve sistem davranışlarında ağır değişikliklere (basamaklı etkiler olarak bilinir) yol açabileceği ‘önemsiz değişkenleri’ göz ardı etme konusunda dikkatli olunmalıdır. Bunun yerine, tüm bileşenlerin gelecekteki durumlarını tahmin etme kapasitesi, karmaşık bir sistemin gelecekteki davranışını daha iyi tahmin etmeye yardımcı olabilir. ii) Tüm gözlemleri tahmin ederken genelleştirilmiş bir tahminci bulmak zordur. Bir hedef değişken için yordayıcılar genellikle ampirik olarak seçilir; örneğin hedefe ilişkin birkaç gözlem. Geriye kalan tüm değişkenler yordayıcı olarak dikkate alınırsa, bazı gereksiz bilgiler performansı olumsuz etkileyebilir (örneğin, özellikle yüksek boyutlu gerçek dünya sistemleri için gürültü ve hedef değişkenle alakasız değişkenler. iii) Bunu belirlemek için genelleştirilmiş bir yöntem bulmak zordur. Tüm gözlemleri tahmin edin. Her hedef için bazı yaklaşımlar farklı modeller eğitebilir (örneğin tahmine dayalı modeller tamamen bağımsızdır). İhtiyaç olabilir N için modeller Nboyutlu sistem, yüksek hesaplama maliyetine yol açar.
Yukarıda belirtilen engellerin üstesinden gelmek için, özellik yerleştirme (manifold öğrenme) ve gecikme yerleştirmenin birleşimiyle veriye dayalı bir tahmine dayalı çerçeve geliştiriyoruz. Çerçevemiz, genelleştirilmiş ve pratik bir tahmin aracıyla, yani sistemin çok yönlü öğrenmeden elde edilen düşük boyutlu temsili yoluyla tüm bileşenler için güvenilir tahminler sağlar. Çerçevemizin teorik temeli, yüksek boyutlu sistemlerin çoğunlukla gereksiz bilgi içerdiği ve temel dinamiklerinin veya yapılarının, örneğin 4096 boyutlu bir görüntünün anlamlı yapısı gibi düşük boyutlu temsillerle karakterize edilebileceği temel gerçeğine dayanmaktadır (64). piksel x 64 piksel), iki poz değişkeni ve azimut aydınlatma açısı ile üç boyutlu bir manifoldla karakterize edilebilir. Bu düşük boyutlu gösterimler iki güçlü teknikle yeterince tanımlanabilir: özellik yerleştirme ve gecikme yerleştirme. Bunu anlamak için 3 boyutlu Lorenz sistemini ve 3 boyutlu Rössler sistemini ele alırsak, durum uzayında oldukça farklı yapılar gösterirler (Şekil 2(a) ve (d). Gecikmeli gömmeden 2 boyutlularını bulabiliriz. orijinal sistemlerle benzer topolojik yapılar gösteren temsiller (Şekil 2(b) ve (e)).Çok yönlü öğrenmeden, bunların düşük boyutlu temsillerini de bulabiliriz (Şekil 2 (c) ve (f)) Özellik gömmeden düşük boyutlu gösterime ilişkin bilgi elde edilebilirken, gecikmeli gömmeden düşük boyutlu gösterime ilişkin bazı öğeler bilinmezken, iki yaklaşımdan elde edilen düşük boyutlu gösterimler (farklı koordinatlarda) orijinal sistemle izomorfik yapılar gösterdiğinden Bu, iki düşük boyutlu gösterim arasında bire bir eşleme yoluyla gecikmeli yerleştirme yoluyla gösterimlerdeki bilinmeyen öğeleri bulmamızı sağlar.Ek olarak, dinamik bir sistemde her zaman serisi değişkeni, gecikmeli yerleştirme yoluyla düşük boyutlu bir gösterimi yeniden oluşturabilir. . Bu nedenle, özellik yerleştirmeden elde edilen düşük boyutlu gösterim, karmaşık sistemlerdeki tüm bileşenlerin gelecekteki dinamiklerini potansiyel olarak tanımlamak için genelleştirilmiş bir tahmin aracı olarak pratik olarak seçilebilir. Çerçevemizin önemli potansiyeli, hem temsili modeller hem de Hint musonu, elektroensefalogram (EEG) sinyalleri, döviz piyasası ve Los Angeles Ülkesindeki trafik hızını içeren gerçek dünya verileri için gösterilmiştir. Çerçevemiz boyutluluk lanetinin üstesinden gelir ve genelleştirilmiş bir tahmin edici bulur ve dolayısıyla diğer birçok gerçek dünya sisteminde uygulama potansiyeline sahiptir.
Şekil 2. Karmaşık sistemin düşük boyutlu gösterimi.
Ancak çerçevemiz farklı bileşenleri eşzamanlı olarak tahmin etmekte başarısız oluyor. Başka bir deyişle, her hedef değişken için uygun bir eşlemenin eğitilmesi gerekir. Ek olarak, çerçevemizin, bir sistemin ani, hızlı ve hatta geri döndürülemez geçişler (devrilme noktaları olarak bilinir) yaşadığı durumlara yönelik sınırlamaları da vardır. Bir sistemin davranışı zıt durumlar arasında değişir ve bir sistem eşiği geçtiğinde tarihsel kurallar geçerli olmayabilir, bu da çerçevemize ilişkin zayıf tahminlere yol açabilir.